Емблема центру  www.olymp.vinnica.ua     netoi.org.ua
Центр олімпіад школярів в Iнтернеті
Likt-PMG17
м.Вiнниця


Годинник
 
© Всеукраинский виртуальный центр олимпиад школьников "ОЛІМП"
МАТЕМАТИКА
     
  
Завдання з математики XIII Всеукраїнської комплексної олімпіади ТУРНІР ЧЕМПІОНІВ
 

XІII Всеукраїнська комплексна олімпіада з математики, фізики
та інформатики

"Турнір чемпіонів"

2006 р.

 

Математика

1.    Нехай , , – додатні дійсні числа такі, що . Доведіть, що

 

.

 

2.    Знайти усі пари цілих чисел, які є розв’язками рівняння

.

 

3. Нехай – рівнобедрений трикутник, в якому . Нехай

– точка на основі така, що . Відмітимо на відрізку

таку точку , що . Доведіть, що .

 

4. Знайти всі функції f : R → R такі, що рівність

 

 

виконується для всіх дійсних та .

 

5.    Петро з’їдає макітру вареників на хвилин довше, ніж він це робить

разом з Юрієм. Юрій з’їдає таку ж макітру вареників на хвилин

довше, ніж він це зробив би разом з Петром. За скільки хвилин

з’їдають таку ж макітру вареників Петро і Юрій разом.

Математика – юніорська ліга

1. Доведіть, що якщо сума ділиться на 3 та та – цілі, то та діляться на 3.

 

2. Для а > в > с довести нерівність

 

 

3. У трикутнику АВС проведені бісектриса АК, медіана ВL І висота СМ. Трикутник КМL рівносторонній. Доведіть, що і трикутник АВС рівносторонній.

 

4. Чи можна шахову дошку розміром 10 x 10 закласти плитками розміром 1 x 4?

 

5. На колі стоїть 30 чисел, кожне з яких дорівнює модулю різниці двох чисел, що стоять після нього за годинниковою стрілкою. Відомо, що сума всіх чисел дорівнює 1. Знайти ці числа.

 
 

© Всеукраїнський віртуальний центр олімпіад школярів "ОЛІМП"