Емблема центру  www.olymp.vinnica.ua     netoi.org.ua
Центр олімпіад школярів в Iнтернеті
Likt-PMG17
м.Вiнниця


Годинник
     
© Всеукраинский виртуальный центр олимпиад школьников "ОЛІМП"
МАТЕМАТИКА
            
  
Завдання з математики XIII Всеукраїнської комплексної олімпіади ТУРНІР ЧЕМПІОНІВ
 

XІII  Всеукраїнська  комплексна  олімпіада з математики, фізики
та інформатики 

"Турнір чемпіонів"

2006 р.

 

Математика

 

1.    Нехай , ,  – додатні дійсні числа такі, що . Доведіть, що

 

.

 

2.    Знайти усі пари цілих чисел, які є розв’язками рівняння

.

 

    3.  Нехай  – рівнобедрений трикутник, в якому . Нехай

        – точка на основі  така, що . Відмітимо на відрізку

        таку точку , що . Доведіть, що .

 

  4.  Знайти всі функції f : R → R такі, що рівність

 

 

          виконується для всіх дійсних  та .

 

5.    Петро з’їдає макітру вареників на  хвилин довше, ніж він це робить

      разом з Юрієм. Юрій з’їдає таку ж макітру вареників на  хвилин

      довше, ніж він це зробив би разом з Петром. За скільки хвилин

      з’їдають таку ж макітру вареників Петро і Юрій разом.

 

 

Математика – юніорська ліга

 

1. Доведіть, що якщо сума    ділиться на  3 та  та  – цілі, то  та  діляться    на 3.

 

2.  Для  а > в > с  довести нерівність

 

 

3. У трикутнику АВС проведені бісектриса АК, медіана ВL І висота СМ. Трикутник  КМL рівносторонній. Доведіть, що і трикутник АВС рівносторонній.

 

4. Чи можна шахову дошку розміром 10 x 10 закласти плитками розміром 1 x 4?

 

5. На колі стоїть 30 чисел, кожне з яких дорівнює модулю різниці двох чисел, що стоять після нього за годинниковою стрілкою. Відомо, що сума всіх чисел дорівнює 1. Знайти ці  числа.

 

 

 

 

 

 
 

© Всеукраїнський віртуальний центр олімпіад школярів "ОЛІМП"