VIII міжрегіональна олімпіада з математики, фізики 
та інформатики 

"Турнір чемпіонів"

Завдання з математики

1. (6 балів) Нехай n – більше за одиницю натуральне число, a₁,a₂, ...,a_n – такі додатні числа, що їхній добуток дорівнює одиниці. Довести, що серед них можна вибрати такі два числа a_i та a_j , (1<= i<>j<=n ) що справджуватиметься нерівність 

a_i²(1+2a_j³)>=3

2. (6 балів) Задано неперервну функцію f: [-2001;2001] -->[-2001;2001]. Довести, що існують такі числа a,b є [-2001;2001], що

f(a)+f(b)=a-b. 

3. (6 балів) В кожній клітинці таблиці розміру 10x10 записано натуральне число, яке не перевищує десяти, причому числа в будь-яких двох клітинках, що мають принаймні одну спільну вершину, є взаємно простими. 
Довести, що якесь число в цій таблиці зустрічається щонайменше 17 разів. 

4. (7 балів) Дано опуклий п’ятикутник ABCDE, в якому ABC = AED = 90⁰,BAC = DAE. Нехай K – середина сторони CD, а P – точка перетину прямих AD і BK , Q– точка перетину прямих AC і EK. 
Довести, що BQ=PE. 

1 травня 2001 року

На виконання роботи відводиться 3 години

Використання калькуляторів не дозволяється