Завдання по математиці

1.    Розглянемо трикутник ABC , в якому AB>AC . Нехай P Q   – основи перпендикулярів, опущених з вершин B C   на бісектрису кута BAC  відповідно. На прямій BC  відмітили точку D    таку, що . Доведіть, що прямі BQ PC AD   перетинаються в одній точці.

2.    Довести, що при будь-яких додатних   a, b, c  виконується нерівність

.

3.    Чи існує таке просте число p , що серед членів послідовності , … є ціле число?

4.    Про функцію   відомо, що для всіх натуральних n    

.

Знайти найменш можливе значення виразу .

5.    В ККЗ “Райдуга” міста Вінниці 1500 місць. Адміністрація гурту “Океан Ельзи”, який виступатиме в “Райдузі” 7 травня, досліджує залежність одержаного прибутку від вартості квитків. Якщо вартість одного квитка складатиме 100грн., то продадуть 200 квитків, якщо ж вартість одного квитка становитиме 50 грн., то продадуть ­ 1000 квитків. Запропонуйте оптимальну вартість квитка, щоб прибуток був найбільш можливим. Знайти його.