X
І
V
Всеукраїнська комплексна олімпіада з математики, фізики
та інформатики
"Турнір чемпіонів"
200
7
р.
Завдання з математики
для Турніру чемпіонів – 2007
1
.
Розв’яжіть рівняння
.
2.
Нехай
і
– прості числа. Доведіть, що число
є спільним дільником таких чисел
та
.
3.
Дано трикутник
. Точка
рухається по стороні
, а точка
рухається по продовженню сторони
за точку
так, що
. Знайдіть геометричне місце центрів кіл, описаних навколо трикутників
.
4.
Нехай
,
і
– довільні дійсні числа. Доведіть нерівність:
.
5.
Многогранник
має вигляд, зображений на малюнку. Відомо, що
– паралелограм, площини трикутників
і
взаємно перпендикулярні, а також взаємно перпендикулярними є площини трикутників
і
. Кожну грань цього многогранникапофарбували в чорний або білий колір так, що грані, які мають спільне ребропофарбовані в різні кольори. Доведіть, що сума квадратів площ чорних граней дорівнює сумі квадратів площ білих граней.
Математика
– юн
іорська ліга
1.
Відомо, що число
p
є коренем рівняння
. Знайти значення виразу
2.
Знайти всі натуральні числа, які можна подати у вигляді
, де
m
та
n
– натуральні числа.
3.
Нехай додатні числа
a
,
b
,
c
та дійсні числа
x
,
y
,
z
такі, що
Доведіть нерівність
4.
За допомогою циркуля та лінійки відновити трикутник АВС за трьома точками:
D
,
E
,
M
, де точки
D
та
E
– середини висот
AH
та
CP
трикутника АВС, а точка
М- середина сторони АС.
5
.
Після закінчення конкурсу бальних танців, в якому брали участь 7 хлопчиків
та 8 дівчаток, кожен ( кожна ) назвав ( назвала ) кількість своїх партнерш
( партнерів ) : 3,3,3,3,3,5,6,6,6,6,6, 6,6,6,6. Чи не помилився хто-небудь із них?
