"Турнір чемпіонів"

Завдання з математики

1. Послідовність цілих чисел a₁ , a₂ , a₃ , …  така, що a₁=1,a₂=2 і для кожного натурального n>=1

Чи існує таке натуральне число m , що a_m=2000 ?

2. Точка P  знаходиться зовні кола w  з центром O . Прямі l₁  та l₂  проходять через точку P , причому l₁  дотикається кола w  в точці A , а l₂  перетинає w  в точках B  і C . Дотичні до кола w в точках B  і C перетинаються в точці Q . Нехай K - точка перетину прямих BC і AQ . Доведіть, що          .

3. Знайти всі функції   такі, що

     1)  | f(x)| >=1 для всіх дійсних X ;

     для всіх дійсних X та Y .

4. Нехай  і  - натуральні числа, які задовольняють нерівність . Доведіть, що тоді виконується й така нерівність .

5. На площині проводять три набори паралельних прямих, по десять прямих в кожному наборі. На яку найбільшу кількість трикутників вони розріжуть дану площину?

На виконання роботи відведено 4 год.

Використання калькуляторів та записничків забороняється.