Знайти всі пари натуральних чисел (m,n) такі, що
(m² - n)(m + n²) = (m + n)³

Два різні кола W₁ і W₂, з центрами в точках O₁ і O₂ відповідно, перетинаються в точках A і B . Пряма O₁B перетинає W₂ в точці F (F <> B), а пряма O₂B перетинає W₁ в точці E (E <> B). Через точку B провели пряму, паралельно до EF, яка перетинає W₁ в точці M (M <> B), а W₂ - в точці N (N <> B). Довести, що прямі ME ,AB і NF перетинаються в одній точці.

Нехай R⁺ - множина додатних дійсних чисел. Знайти всі функції f: R⁺->R⁺ такі, що виконується співвідношення
(f (x))² >= f (x + y)(f (x) + y)
для всіх x,y є R⁺.

В кожній вершині трикутної піраміди написано число. На кожному ребрі записана сума чисел, що стоять на його кінцях. Відомо, що сума чисел на ребрах рівна 3 і сума їх квадратів дорівнює 3. Які значення може приймати сума кубів чисел на ребрах?

Шахова фігура " кулеметник " б'є в якомусь одному напрямку по вертикалі або горизонталі ( наприклад, по горизонталі вліво) на довільну кількість клітинок. Яку найбільшу кількість таких, що не б'ють один одного, кулеметників можна поставити на шахівниці 20х20?