Математика

1.Нехай  – таке натуральне число, що  – ціле число. Доведіть, що і

     також ціле число.

2. Дано трикутник . Пряма, яка проходить через вершину , симетрична медіані  відносно прямої, що містить бісектрису кута , перетинає коло, описане навколо трикутника , в точках  і . Нехай  – середина відрізка . Доведіть, що .

3. Перша абетка, яку вивчають учні початківці Вінницької фізико-математичної гімназії №17, містить лише три літери . Обчисліть кількість слів, кожне з яких можна записати  літерами цієї абетки і кожне з яких містить парну кількість літер .

4. Доведіть, що для будь-яких дійсних додатних чисел , ,  виконується нерівність

.

Математика

1.       Пусть n – такое натуральное число, что - целое число. Докажите, что и    тоже целое число.

2.      Дан треугольник АВС. Прямая, проходящая через вершину А , симметрична медиане АМ относительно прямой , содержащей биссектрису угла ВАС, пересекает окружность, описанную около треугольника АВС, в точках А и К. Пусть L –середина отрезка АК. Докажите, что  .

3.      Первый алфавит, который изучают ученики–первоклассники Винницкой физико-математической гимназии №17, содержит всего три буквы ф, м, г. Вычислить количество слов, каждое из которых можно записать 2005-ю буквами этого алфавита и каждое из них содержит четное количество букв г.

4.      Докажите, что для любых вещественных (действительных) положительных чисел a, b, c  выполняется неравенство:

.