X І V Всеукраїнська комплексна олімпіада з математики, фізики
та інформатики
"Турнір чемпіонів"
200 7 р.
Завдання з математики
для Турніру чемпіонів – 2007
1 . Розв’яжіть рівняння
.
2. Нехай 
і 
– прості числа. Доведіть, що число 
є спільним дільником таких чисел 
та 
.
3. Дано трикутник 
. Точка 
рухається по стороні 
, а точка 
рухається по продовженню сторони 
за точку 
так, що 
. Знайдіть геометричне місце центрів кіл, описаних навколо трикутників 
.
4. Нехай 
, 
і 
– довільні дійсні числа. Доведіть нерівність:
.
5. Многогранник 
має вигляд, зображений на малюнку. Відомо, що 
– паралелограм, площини трикутників 
і 
взаємно перпендикулярні, а також взаємно перпендикулярними є площини трикутників 
і 
. Кожну грань цього многогранникапофарбували в чорний або білий колір так, що грані, які мають спільне ребропофарбовані в різні кольори. Доведіть, що сума квадратів площ чорних граней дорівнює сумі квадратів площ білих граней.
Математика – юн іорська ліга
1. Відомо, що число p є коренем рівняння 
. Знайти значення виразу 
2. Знайти всі натуральні числа, які можна подати у вигляді 
, де m та n – натуральні числа.
3. Нехай додатні числа a , b , c та дійсні числа x , y , z такі, що 
Доведіть нерівність 
4. За допомогою циркуля та лінійки відновити трикутник АВС за трьома точками: D , E , M , де точки D та E – середини висот AH та CP трикутника АВС, а точка М- середина сторони АС.
5 . Після закінчення конкурсу бальних танців, в якому брали участь 7 хлопчиків та 8 дівчаток, кожен ( кожна ) назвав ( назвала ) кількість своїх партнерш ( партнерів ) : 3,3,3,3,3,5,6,6,6,6,6, 6,6,6,6. Чи не помилився хто-небудь із них?
